Ⅰ 極限思想的演變過程
高等數學研究 V o l14,N o 13
40 STUD IES IN COLL EGE M A TH EM A T ICS Sep. , 2001
微積分史話
Ξ
極限概念發展的幾個歷史階段
王曉碩 (遼寧師范大學數學系, 大連, 116029)
極限概念是分析數學中最基本的概念之一, 用以描述變數在一定變化過程中的終極狀態。極限
理論是微積分學的基礎, 它從方法論上突出地表現了微積分學不同於初等數學的特點。從古至今,
人們對於極限概念的認識經歷了一段漫長的過程。從最初時期樸素、直觀的極限觀經過了2000 多
年的發展, 演變成為近代嚴格的極限理論, 在現代數學中, 人們又引進了更廣泛和更一般的極限概
念。這其中的思想演變是漸進的、相互推動的。本文針對極限概念在不同時期的特點給予粗略的概
述。
一、樸素的、直觀的極限觀
(
這種極限觀在我國古代的文獻中就有記載, 最著名的是《莊子·天下篇》中記載的惠施 約前
) [ 4 ]
370——約前 310 的一段話: 「一尺之錘, 日取其半, 萬世不竭。」 公元 3 世紀, 中國數學家劉徽
( )
263 年左右 成功地把極限思想應用於實踐, 其中最典型的方法就是在計算圓的面積時建立的「割
圓術」。由於劉徽所採用的圓的半徑為1, 這樣圓的面積在數值上即等於圓周率, 所以說劉微成功地
創立了科學的求圓周率的方法。劉徽採用的具體做法是: 在半徑為一尺的圓內, 作圓的內接正六邊
5 ( )
形, 然後逐漸倍增邊數, 依次算出內接正6 邊形、正 12 邊形、…、直至 6 ×2 192 邊形的面積。他利
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( )
用公式 2n = · n 為內接正 邊形的邊長, 2n 為內接2 邊形的面積 來求正多邊形的面積。
S n l n S n
2
劉徽認為, 割得越細, 圓內接正多邊形與圓面積之差越小, 即「割之彌細, 所失彌少。割之又割, 以至
於不可割, 則與圓和體, 而無所失矣」。這就是割圓術所反映的樸素的極限思想。
劉徽的極限觀念與古希臘的安蒂豐不謀而合。智人學派的安蒂豐( , 約前480——約
A n tiphon
前410) 在討論化圓為方的問題時想到用邊數不斷增加的內接正多邊形來接近圓面積, 而內接正多
邊形與圓周之間存在的空隙當多邊形的邊數不斷加倍時被逐漸「窮竭」。後來, 希臘數學家歐多克索
斯(Eudoxu s 約前400——約前 347) 建立了下列原理: 「對於兩個不相等的量, 若從較大量中減去大
於其半的量, 再從所餘量中減去大於其半的量。繼續重復這個步驟, 則必有某個餘量小於原來較小
[ 1 ]
的量。」 這就是近代分析中的阿基米德公理「∏ > 0, > 0, ? ∈ , 使 > 」的原形。著名希臘數
a b n N na b
學家阿基米德( , 約前287——約前 212) 把上述方法成功地應用於許多面積和體積的計
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算。例如, 在《方法》一書中, 他證明了「拋物線弓形面積是同底等高三角形的三分之四」的結果。阿
( )
基米德是根據力學原理去發現問題, 然後用歐多克索斯的原理和反證法 雙重歸謬法 來證明有關
結論的。從阿基米德的工作中, 可以看到近代積分學中微元法基本思想的雛形, 但是還沒有求極限
的觀念。盡管如此, 阿基米德所創造的極富啟發性的方法, 獲得了大量的輝煌成果, 為後人開辟了廣
闊的領域。
由安蒂豐提出, 歐多克索斯完善的方法經阿基米德的工作發展到一個高峰。他們的工作到 17
世紀被重新研究, 歐多克索斯原理被稱為「窮竭法」。窮竭法所蘊涵的思想就是近代極限概念的雛
Ξ 收稿日期: 2001—05—14。
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Ⅱ 王姓男孩名字大全屬羊要帶碩字的
王義碩 王修碩 王鑫碩 王懿碩 王桐碩 王飛碩 王崢碩 王如碩 王延碩 王厚碩 王裕碩 王寧碩 王虎碩 王世碩 王勁碩 王泊碩 王城碩 王悅碩 王朗碩 王凡碩 王力碩 王勛碩 王爍碩 王震碩 王士碩 王琪碩 王蔚碩 王仕碩 王玉碩 王高碩 王煒碩 王亞碩 王孝碩 王波碩 王德碩 王丁碩 王孟碩 王雪碩 王禮碩 王善碩 王為碩 王聲碩 王鳴碩 王來碩 王承碩 王傳碩 王運碩 王水碩 王琳碩 王津碩 王屹碩 王靈碩 王沐碩 王彤碩 王嵐碩 王胤碩 王久碩 王相碩 王思碩 王遠碩 王佑碩 王學碩 王禹碩 王紹碩 王琛碩 王楚碩 王鎮碩 王欣碩 王曉碩 王浚碩 王彥碩 王宜碩 王雅碩 王銘碩 王知碩 王朋碩 王欽碩 王鶴碩 王利碩 王亦碩 王雄碩 王光碩 王昱碩 王崇碩 王亮碩 王瀟碩 王宗碩 王以碩 王道碩 王栩碩 王小碩 王忻碩 王予碩 王富碩 王有碩 王濟碩 王仁碩 王愷碩 王和碩 王友碩 王秀碩 王恆碩 王秋碩 王昭碩 王心碩 王望碩 王晨碩 王添碩 王積碩 王月碩 王易碩 王凌碩 王長碩 王騏碩 王森碩 王煥碩 王人碩 王強碩 王漢碩 王洛碩
Ⅲ 王曉碩名字用意是什麼
一般早上出生的才用曉，黎明破曉的意思
Ⅳ 李玲和王小帥一共有卡紙九十六章王小帥給李寧十二張後兩人卡紙的張數同樣多兩
李琳和王小帥一共有卡紙96張，王小帥給李寧12張後兩人卡紙一樣多，那麼就用。96÷2等於48，48再減去12一個是？36，一個是60。
Ⅳ 中國古代科學成就有哪些用到了數學的極限思想
1.算圓周率 pi
2.計算圓的面積
極限概念發展的幾個歷史階段
王曉碩 (遼寧師范大學數學系, 大連, 116029)
極限概念是分析數學中最基本的概念之一, 用以描述變數在一定變化過程中的終極狀態。極限
理論是微積分學的基礎, 它從方法論上突出地表現了微積分學不同於初等數學的特點。從古至今,
人們對於極限概念的認識經歷了一段漫長的過程。從最初時期樸素、直觀的極限觀經過了2000 多
年的發展, 演變成為近代嚴格的極限理論, 在現代數學中, 人們又引進了更廣泛和更一般的極限概
念。這其中的思想演變是漸進的、相互推動的。本文針對極限概念在不同時期的特點給予粗略的概
述。
一、樸素的、直觀的極限觀
(
這種極限觀在我國古代的文獻中就有記載, 最著名的是《莊子·天下篇》中記載的惠施 約前
) [ 4 ]
370——約前 310 的一段話: 「一尺之錘, 日取其半, 萬世不竭。」 公元 3 世紀, 中國數學家劉徽
( )
263 年左右 成功地把極限思想應用於實踐, 其中最典型的方法就是在計算圓的面積時建立的「割
圓術」。由於劉徽所採用的圓的半徑為1, 這樣圓的面積在數值上即等於圓周率, 所以說劉微成功地
創立了科學的求圓周率的方法。劉徽採用的具體做法是: 在半徑為一尺的圓內, 作圓的內接正六邊
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形, 然後逐漸倍增邊數, 依次算出內接正6 邊形、正 12 邊形、…、直至 6 ×2 192 邊形的面積。他利
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用公式 2n = · n 為內接正 邊形的邊長, 2n 為內接2 邊形的面積 來求正多邊形的面積。
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劉徽認為, 割得越細, 圓內接正多邊形與圓面積之差越小, 即「割之彌細, 所失彌少。割之又割, 以至
於不可割, 則與圓和體, 而無所失矣」。這就是割圓術所反映的樸素的極限思想。
劉徽的極限觀念與古希臘的安蒂豐不謀而合。智人學派的安蒂豐( , 約前480——約
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前410) 在討論化圓為方的問題時想到用邊數不斷增加的內接正多邊形來接近圓面積, 而內接正多
邊形與圓周之間存在的空隙當多邊形的邊數不斷加倍時被逐漸「窮竭」。後來, 希臘數學家歐多克索
斯(Eudoxu s 約前400——約前 347) 建立了下列原理: 「對於兩個不相等的量, 若從較大量中減去大
於其半的量, 再從所餘量中減去大於其半的量。繼續重復這個步驟, 則必有某個餘量小於原來較小
[ 1 ]
的量。」 這就是近代分析中的阿基米德公理「∏ > 0, > 0, ? ∈ , 使 > 」的原形。著名希臘數
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學家阿基米德( , 約前287——約前 212) 把上述方法成功地應用於許多面積和體積的計
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算。例如, 在《方法》一書中, 他證明了「拋物線弓形面積是同底等高三角形的三分之四」的結果。阿
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基米德是根據力學原理去發現問題, 然後用歐多克索斯的原理和反證法 雙重歸謬法 來證明有關
結論的。從阿基米德的工作中, 可以看到近代積分學中微元法基本思想的雛形, 但是還沒有求極限
的觀念。盡管如此, 阿基米德所創造的極富啟發性的方法, 獲得了大量的輝煌成果, 為後人開辟了廣
闊的領域。
由安蒂豐提出, 歐多克索斯完善的方法經阿基米德的工作發展到一個高峰。他們的工作到 17
世紀被重新研究, 歐多克索斯原理被稱為「窮竭法」。窮竭法所蘊涵的思想就是近代極限概念的雛
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